神经辐射场论文记录（二）

author：张一极

date：20231218-21:48

优化后的位置编码

作者认为神经网络更擅长拟合低频变化的函数，也就是周期性较弱的函数，在一个周期内，函数的振动次数越多，频率就越高，所以神经网络倾向于学习一个周期内震荡次数少的数据，原来的方法直接使用神经网络处理原始的坐标输入（xyzθφ）会导致渲染结果在表示颜色和几何形状的高频变化时表现不佳。这是因为深度神经网络倾向于学习低频函数。为了解决这个问题，论文提出了一种方法，即先通过一个高频率的函数将输入映射到更高维度的空间，然后再将这些输入传给神经网络。

论文引入了一个新的函数γ，它将输入坐标p映射到一个更高维度的空间R2L。这个映射是通过一系列的正弦和余弦函数实现的，这些函数以2的幂次递增，从0到L-1。其中L是映射的维度。

$\gamma (\mathfrak{p})$$\gamma(\mathfrak{p})$函数的输出是一个包含L个元素的向量，其中每个元素是p经过不同频率的正弦和余弦函数变换的结果。p是输入坐标，L是预定的维度大小。例如，如果L=4, 那么γ(p)会是这样的一种形式$:(\sin \left(2^0\pi p\right),\cos \left(2^0\pi p\right),\sin \left(2^1\pi p\right),\cos \left(2^1\pi p\right))$$:(\sin(2^0\pi p),\cos(2^0\pi p),\sin(2^1\pi p),\cos(2^1\pi p))$。这意味着输入坐标p会被正弦和余弦函数以不同的频率 (2的幂次) 进行处理，产生的结果组成了高维空间中的新坐标。

这里用2作为底数，我猜有两种原因，一个是经过幂变化的系数为等比数列，二是2的计算过程较为友好，其他的数值也可以，但是对计算机而言，2相关的数据，运算较方便。

这里的含义其实可以理解为，针对三个坐标，$x,y,z$$x,y,z$

$\gamma (x)=(\sin \left(2^0\pi x\right),\cos \left(2^0\pi x\right),\cdots ,\sin \left(2^{L-1}\pi x\right),\cos \left(2^{L-1}\pi x\right)).$$\gamma(x)=\left(\sin\left(2^0\pi x\right),\cos\left(2^0\pi x\right),\cdots,\sin\left(2^{L-1}\pi x\right),\cos\left(2^{L-1}\pi x\right)\right).$

$\gamma (y)=\dots .$$\gamma(y)=\dots.$

$\gamma (z)=(\sin \left(2^0\pi z\right),\cos \left(2^0\pi z\right),\cdots ,\sin \left(2^{L-1}\pi z\right),\cos \left(2^{L-1}\pi z\right)).$$\gamma(z)=\left(\sin\left(2^0\pi z\right),\cos\left(2^0\pi z\right),\cdots,\sin\left(2^{L-1}\pi z\right),\cos\left(2^{L-1}\pi z\right)\right).$

将三个数据标准化以后，输入上述三式，坐标的L取10，即最后转化为10维向量。

把剩下的观看视角参数，通过指向该方向的单位向量表达，L取4，最后转化为4维向量。